常见导数
(e−x)′=−e−x
(−e−x)′=e−x
(arctanx)′=1+x21
常见函数公式
(eax)′=aeax
e−x=(ex)−1=ex1
f′(x)dx=df(x)
∫xadx=a+1xa+1+C
ln(ab)=ln(a)+ln(b)
lnax=xlna
ln1=0,lne=1
lne1=ln1e−1=ln1+lne−1=0+−1lne=−1
lna1=−lna
等比数列
Sn=1−qa1(1−qn)
S∞=1−qa1(∣q∣<1,n→∞)
常见积分
分部积分法
∫uv′dx=uv−∫u′vdx(u/v为x的函数)
∫abuv′dx=(uv)∣ab−∫abu′vdx
基本概念
A∪B=B∪A,AB=BA
0=P(∅)
1=P(A)+P(Aˉ)
1=P(A∣B)+P(Aˉ∣B)
P:事件概率 FX(x)=P{X<x},∫abfX(x)dx=P{a≤X<b}
f:(概率)密度函数 fX(x)=dxdFX(x)
F:(累积)分布函数 FX(x)=∫−∞xfX(x)dx
全集: Ω=∅
联合(累积)分布函数:F(x,y)
联合(概率)密度函数:f(x,y)
边缘密度函数:fX(x)=∫−∞+∞f(x,y)dy ,X取固定值时Y的所有概率的和
X,Y独立:fX(x)⋅fY(y)=fX,Y(x,y)或FX(x)⋅FY(y)=FX,Y(x,y)
一言第一定理/全概率:P(A)=P(AB)+P(ABˉ)
条件概率:P(A∣B)=P(B)P(AB)
条件概率密度:fY∣X(y∣x)=fX(x)f(x,y)
AB事件独立:P(AB)=P(A)P(B)
容斥原理:P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)
德摩根律/对偶律:Aˉ∪Bˉ=AB,AˉBˉ=A∪B
贝叶斯公式:P(A∣B)=P(B)P(B∣A)P(A)
泰勒展开:ex=1+1!x1+2!x2+⋅⋅⋅
切比雪夫不等式:ε≥0,P{∣X−EX∣<ε}≥1−ε2DX
卷积公式:fX+Y=∫−∞+∞f(x,z−x)dx
中心极限定理
和趋于正态分布
limn→∞P(nσ∑Xi−nμ<x)=2π1∫−∞xe−2t2=ϕ(x)
全概率公式 advanced
前提:B1/B2/Bi互不相交且和为Ω
P(A)=P(A∣B1)P(B1)+P(A∣B2)P(B2)+